Why we cannot divide by zero

A. Các tiên đề

Số học bắt đầu bằng việc giả định về sự tồn tại của những đối tượng gọi là số thực. Nó giả định các số thực này có thể được biến đổi qua hai phép tính cộng và nhân, thứ kết hợp hai số thực và tạo ra một số thứ ba:

• Phép cộng: Với hai số thực bất kỳ $a$ và $b$, tồn tại một số thực $a+b$.
• Phép nhân: Với hai số thực bất kỳ $a$ và $b$, tồn tại một số thực $ab$ ($a$ nhân $b$).

Những phép tính cộng và nhân này được giả sử là tuân theo một số tiên đề cụ thể, gọi là các tiên đề về trường. Các tiên đề này bao gồm các tính chất số học cơ bản là tính giao hoán, tính kết hợp, và tính phân phối. Danh sách dưới đây liệt kê toàn bộ những tiên đề đó:

1. Tính giao hoán $a+b=b+a$ và $ab=ba$.
2. Tính kết hợp: $(a+b)+c=a+(b+c)$ và $\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$.
3. Tính phân phối: $a(b+c)=ab+ac$.
4. Sự tồn tại của số 0: Có một số gọi là "0", đây là phần tử cộng trung hòa, sao cho $a+0=a$ với mọi số thực $a$.
5. Sự tồn tại của số 1: Có một số gọi là "1", đây là phần tử nhân trung hòa, sao cho $a1=a$ với mọi số thực $a$.
6. Số đối (nghịch đảo cộng): Với mỗi số thực $a$, tồn tại một số thực $-a$, gọi là số đối của $a$, sao cho $a+-a=0$.
7. Số nghịch đảo (nghịch đảo nhân): Với mỗi số thực $a$ khác 0, tồn tại một số thực $a^{-1}$, gọi là số nghịch đảo của $a$, sao cho $a{a}^{-1}=1$.
8. $0\ne 1$.

Những tiên đề này không thể chứng minh được: chúng là một danh sách ngắn các tính chất mà ta cảm thấy các con số phải tuân theo. Tuy nhiên, các tiên đề lại hữu ích, vì từ đó, các tính chất quan trọng khác của các số có thể được chứng minh. Một định lý quan trọng có thể chứng minh trực tiếp từ các tiên đề này là việc nhân bất kỳ số thực nào với 0 đều cho kết quả bằng 0.

Định lý 1: Với mọi số thực $x$, phương trình sau là đúng:

$0x=0$

Chứng minh: Xem cách chứng minh cơ bản tại Phụ lục A.

B. Nhận xét về tiên đề số nghịch đảo

Có người sẽ ngay lập tức nhận ra sự bất đối xứng giữa cách mà tiền đề số đối và tiên đề số nghịch đảo được phát biểu bên trên (tiên đề 6 và 7). Tiên đề số đối đúng với tất các các số thực, còn tiên đề số nghịch đảo chỉ đúng với tất cả các số thực khác 0. Tại sao 0 lại bị loại trừ? Thật không công bằng! Để biết câu trả lời trực tiếp cho vấn đề này, độc giả có thể đi thẳng tới phần D. Còn những ai quan tâm hơn tới câu hỏi "tại sao ta không thể chia cho 0?" phải biết rằng câu hỏi này thậm chí còn không thể được đặt ra cho tới khi phép chia được định nghĩa, điều sẽ được đề cập trong phần kế tiếp.

C. Trừ và chia là các phép toán đảo ngược

Các tiên đề được bắt đầu với hai phép toán cơ bản là cộng và nhân. Phép trừ và phép chia được định nghĩa sau khi có được các tiên đề này. Dưới đây là định nghĩa cơ bản của chúng:

• Phép trừ: Với hai số thực $a$, $b$, phép trừ $a-b$ được định nghĩa là $a+-b$.
• Phép chia: Với hai số thực $a$, $b$, và $b$ khác 0, phép chia $a/b$ được định nghĩa là $a{b}^{-1}$.

Cụ thể, $1⁄2$ được định nghĩa là $2^{-1}$ và $1⁄5$ được định nghĩa là $5^{-1}$. Do đó, $1⁄0$ không thể xác định được, đơn giản là do không có $0^{-1}$. Hay không thể xác định được số nghịch đảo của 0.

Ví dụ, với $bd\ne 0$ thì biểu thức $\frac{ad+bc}{bd}$ được định nghĩa là:

$\frac{ad+bc}{bd}=(ad+bc){\left(bd\right)}^{-1}$

Đây là phép nhân giữa "tử số" $(ad+bc)$ với nghịch đảo của "mẫu số" $bd$. Giá trị $b{d}^{-1}$ được xác định rõ ràng vì $bd$ được giả sử là khác 0. Có thể sử dụng các tiên đề trên để chứng minh $bd\ne 0$ khi và chỉ khi $b\ne 0$ và $d\ne 0$. Do đó, nếu $bd\ne 0$ thì cả $b^{-1}$ và $d^{-1}$ đều tồn tại. Điều này có thể được sử dụng để suy ra các quy tắc cơ bản để biến đổi phân số, như (xem sự suy ra trong Phụ lục B):

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

chỉ đúng khi $b\ne 0$ và $d\ne 0$ (nếu không, một hay nhiều biểu thức không thể xác định được). Một quy tắc cơ bản khác:

$\frac{1}{b/c}=\frac{c}{b}$

chỉ đúng khi $b\ne 0$ và $c\ne 0$ (nếu không, một hoặc nhiều biểu thức không thể xác định được).

D. Nghịch lý khi tồn tại $0^{-1}$

Từ định nghĩa của phép chia, những câu hỏi sau là tương đương nhau:

1. Tại sao ta không thể chia cho 0?
2. Tại sao biểu thức $a/b$ không xác định nếu $b=0$?
3. Tại sao biểu thức $1/b$ không xác định nếu $b=0$?
4. Tại sao số 0 không có số nghịch đảo?

Cùng tập trung vào câu hỏi cuối. Sao ta không định nghĩa một số cụ thể để nó là nghịch đảo của 0? Giờ cứ cho là ta chọn được một số thực cụ thể $z$ là nghịch đảo của 0, vậy $z=0^{-1}$. Từ định nghĩa số nghịch đảo, suy ra:

$0z=1$

Nhưng theo Định lý 1, $0z=0$. Nên 1 = 0, đây là một nghịch lý. Do vậy, ta không thể gán giá trị $0^{-1}$ cho bất kỳ số thực nào mà không tạo ra một nghịch lý với các mệnh đề đã được thiết lập trước đó.

E. Hãy tạo ra một số $z$ không thực

Ta có thể tạo ra một ký hiệu mới $z=0^{-1}$, đây không phải một số thực. Nhưng lúc này, ta phải chấp nhận rằng ký hiệu $z$ mới này có khả năng sẽ không tuân theo các quy tắc số học như các số thực.

Khi chấp nhận $z$ có thể không tuân theo các quy tắc số học, ta sẽ nhận được một nhiệm vụ phức tạp là tìm xem nó tuân theo những quy tắc nào mà không tạo ra nghịch lý. Và kể cả có làm việc đó, ta cũng cần phải biết lý do tại sao mình lại đi tìm một số $z$ như vậy. Tác dụng của nó là?

Do số không thực $z$ này không mang lại lợi ích rõ ràng nào, tốt hơn hết là đừng định nghĩa nó làm gì. Và, ta chỉ cần chấp nhận việc số 0 không có số nghịch đảo.

F. Mô tả trực quan bằng tính đảo ngược

Đây là một lý do trực quan tại sao số 0 không nên có nghịch đảo: Một phép toán khả nghịch có thể "đảo ngược" theo nghĩa sau:

Nếu lấy một số $x$ và nhân với 5, tôi được $5x$. Tôi có thể "đảo ngược" việc này bằng cách nhân với $5^{-1}$ (tương đương với chia cho 5) để có lại được $x$. Việc nhân với 5 không làm mất đi bất kỳ thông tin vào của số gốc $x$. Ví dụ, nếu $x$ chưa xác định, nhưng tôi bảo bạn rằng tôi nhân $x$ với 5 ra kết quả là 10, bạn có thể tìm được $x$ chỉ qua việc giải phương trình $5x=10$. Các phép toán khả nghịch nhân và chia cho 5 giống như một cái máy photocopy có thể thu nhỏ hoặc phóng to tài liệu 5 lần tùy theo nút nào được bấm. Ta có thể phóng to hoặc thu nhỏ bao nhiêu lần cũng được, mà không làm mất mát thông tin.

Giờ lấy một số $x$ chưa xác định và nhân nó với 0. Kết quả là 0. Tôi không thể tìm lại được $x$ nữa, tất cả những gì tôi nhận được là 0. Phương trình $0x=0$ chẳng cung cấp chút thông tin nào về $x$ cả. Cái máy kia đã làm mất toàn bộ tài liệu của tôi! Nhân với 0 là một phép toán không thể đảo ngược! Ta không thể quay lại bằng cách "chia cho 0".

G. Lập luận trực quan theo giới hạn

Có thể chỉ ra rằng nếu $n$ là một số khác 0, thì ${\left(1/n\right)}^{-1}={\left(n^{-1}\right)}^{-1}=n$. Giờ hãy coi $n$ là một số dương rất lớn. Bằng trực giác, ta hiểu rằng $1/n$ tiến tới 0 khi $n$ tăng lên $\infty$. Do đó, ta dự đoán ${(1/n)}^{-1}$ tiến tới $0^{-1}$ khi $n$ tăng lên $\infty$ (cứ cho rằng $0^{-1}$ tồn tại). Nhưng ${(1/n)}^{-1}=n$ và có giới hạn tại $\infty$ do $n$ có thể tăng tới $\infty$. Điều này cho thấy $0^{-1}=\infty$.

Nếu lập luận này khiến bạn thấy $0^{-1}$ là một số không thực $\infty$, thì thử nghĩ lại xem. Một lập luận tương tự cũng đúng, $1/n$ tiến tới 0 khi $n$ giảm xuống $-\infty$ (kiểu như lúc đầu chọn $n$ bằng −10000 rồi sau đó bằng −1000000000). Và ta lại dự đoán ${(1/n)}^{-1}$ tiến dần tới $0^{-1}$ khi $n$ giảm xuống $-\infty$. Nhưng ${(1/n)}^{-1}$ có giới hạn tại $-\infty$ khi $n$ tiến tới $-\infty$. Điều này cho thấy $0^{-1}=-\infty$. Làm sao $0^{-1}$ bằng cả $\infty$ lẫn $-\infty$?

Phụ lục A - Chứng minh Định lý 1

Các tiên đề được phát biểu với sự ngầm hiểu về khái niệm của phương trình, chẳng hạn như $a(b+c)=ab+ac$. Phương trình này có nghĩa là số thực $a(b+c)$ bằng với số thực $ab+ac$. Nếu phương trình này "đúng", thì sau đó có thể thu được một phương trình đúng khác bằng cách thêm cùng một giá trị vào hai vế, hoặc nhân cùng một giá trị vào hai vế. Cách này được sử dụng để chứng minh bên dưới. Việc chứng minh còn sử dụng ký hiệu $x1$ để thể hiện phép nhân giữa số thực $x$ và số 1.

Chứng minh: (Định lý 1) Cho $x$ là một số thực cụ thể. Ta cần chứng minh rằng $0x=0$. Từ tiên đề 4 ta có:

$1+0=1$

Nhân hai về với $x$ được:

$x(1+0)=x1$

Áp dụng tính phân phối:

$x1+x0=x1$

Do $x1=x$ nên:

$x+x0=x$

Cộng $-x$ vào hai vế:

$-x+(x+x0)=-x+x$

Áp dụng tính kết hợp:

$(-x+x)+x0=-x+x$

Do $-x+x=0$ nên:

$0+x0=0$

Do $0+x0=x0$ nên:

$x0=0$

Áp dụng tính giao hoán $x0=0x$ thu được $0x=0$.

Phụ lục B - Các quy tắc cơ bản của phân số

Từ các tiên đề trên có thể chứng minh rằng với bất kỳ số thực $b$ và $c$:

• $bc\ne 0$ khi và chỉ khi $b\ne 0$ và $c\ne 0$.
• Khi $bc\ne 0$, thì ${\left(bc\right)}^{-1}=b^{-1}{c}^{-1}$.
• $1^{-1}=1$.
• $a\ne 0$ khi và chỉ khi $a^{-1}\ne 0$.

Ta có thể sử dụng các định lý này để suy ra các quy tắc cơ bản của phân số.